Basic Electrical Theory & Three-Phase AC

クーロンの法則ほうそくと平行板へいこうばんコンデンサの電界でんかい・静電容量せいでんようりょう

Coulomb's Law and Electric Field & Capacitance of Parallel-Plate Capacitors

第一種電気工事士だいいっしゅでんきこうじしの学科試験がっかしけんでは、問とい1に静電気せいでんきまたは電磁気でんじきの計算問題けいさんもんだいが出題しゅつだいされます。第二種だいにしゅにはない重要分野じゅうようぶんやですが、公式こうしきの形かたちを覚おぼえれば確実かくじつに得点とくてんできます。

In the First-Class Electrician written exam, Question 1 is always a calculation problem on electrostatics or electromagnetism. Although this topic does not appear in the Second-Class exam, memorizing the basic formula shapes guarantees full marks.

空気中くうきちゅうに置おかれた2つの点電荷てんでんかQ1（C）とQ2（C）の間あいだに働はたらく静電気力せいでんきりょくF（N）は、電荷でんかの積せき「Q1×Q2」に比例ひれいし、距離きょりr（m）の2乗じょう「r²」に反比例はんぴれいします。これをクーロンの法則ほうそくと呼よびます。

The electrostatic force F (N) acting between two point charges Q1 (C) and Q2 (C) placed in air is directly proportional to the product of the charges "Q1 × Q2" and inversely proportional to the square of the distance r (m) between them, "r²". This is called Coulomb's Law.

向むかい合あう2枚まいの金属板きんぞくばん（極板きょくばん）を距離きょりd（m）だけ離はなして電圧でんあつV（V）を加くわえると、極板間きょくばんかんには一様いちような電界でんかいが生しょうじます。電界でんかいの強つよさE（V/m）は「E＝V÷d」で求もとめられ、距離きょりdに反比例はんぴれいします。

When two facing metal plates (electrodes) are separated by a distance d (m) and a voltage V (V) is applied, a uniform electric field is created between the plates. The electric field strength E (V/m) is found by "E = V ÷ d" and is inversely proportional to the distance d.

平行板へいこうばんコンデンサの静電容量せいでんようりょうC（F）は、極板きょくばんの面積めんせきS（m²）と絶縁物ぜつえんぶつの誘電率ゆうでんりつε（イプシロン）に比例ひれいし、極板間距離きょくばんかんきょりd（m）に反比例はんぴれいします（C＝ε×S÷d）。面積めんせきが広ひろく隙間すきまが狭せまいほど電気でんきを多おおく蓄たくわえられます。

The capacitance C (F) of a parallel-plate capacitor is directly proportional to the plate area S (m²) and the permittivity ε (epsilon) of the insulator, and inversely proportional to the plate separation d (m) (C = ε × S ÷ d). Wider plates and a narrower gap allow more electric charge to be stored.

コンデンサの直並列接続ちょくへいれつせつぞく・分圧ぶんあつと静電せいでんエネルギー

Series-Parallel Capacitors, Voltage Division and Electrostatic Energy

静電容量せいでんようりょうC（F）のコンデンサに電圧でんあつV（V）を加くわえたときに蓄たくわえられる電荷でんかQ（C：クーロン）は「Q＝C×V」であり、コンデンサ内部ないぶに蓄たくわえられる静電せいでんエネルギーW（J：ジュール）は「W＝0.5×C×V²＝0.5×Q×V」となります。

When a voltage V (V) is applied to a capacitor of capacitance C (F), the stored electric charge Q (C: coulomb) is "Q = C × V", and the electrostatic energy W (J: joule) stored inside the capacitor is "W = 0.5 × C × V² = 0.5 × Q × V".

試験しけんで特とくに注意ちゅういすべきなのは単位たんいの換算かんさんです。静電容量せいでんようりょうは「μF（マイクロファラド＝10⁻⁶F）」で与あたえられることが多おおいため、電圧でんあつVが何百なんびゃくボルトから何千なんぜんボルトのときに10⁻⁶を掛かけてジュール（J）に直なおします。

Unit conversion requires special care on the exam. Because capacitance is usually given in "μF (microfarads = 10⁻⁶F)", when the voltage V is several hundred to several thousand volts, you must multiply by 10⁻⁶ to convert the result into joules (J).

複数ふくすうのコンデンサをつなぐ場合ばあい、合成静電容量ごうせいせいでんようりょうCの計算式けいさんしきは抵抗ていこうのときと正反対せいはんたいになります。並列接続へいれつせつぞくでは極板面積きょくばんめんせきが増ふえるため単純たんじゅんな和わ「C＝C1＋C2」になり、直列接続ちょくれつせつぞくでは和分わぶんの積せき「C＝（C1×C2）÷（C1＋C2）」になります。

When connecting multiple capacitors, the formulas for combined capacitance C are the exact opposite of those for resistors. Parallel connection increases the effective plate area and gives a simple sum "C = C1 + C2", whereas series connection follows product over sum "C = (C1 × C2) ÷ (C1 + C2)".

2つのコンデンサC1とC2を直列接続ちょくれつせつぞくして電源電圧でんげんでんあつVを加くわえると、両りょう方ほうのコンデンサには全まったく同おなじ電荷でんかQが蓄たくわえられます。そのため、各かくコンデンサにかかる電圧でんあつは静電容量せいでんようりょうの逆比ぎゃくひに分圧ぶんあつされ、容量ようりょうが小ちいさい方ほうに高たかい電圧でんあつがかかります。

When two capacitors C1 and C2 are connected in series across a source voltage V, both capacitors store the exact same charge Q. Consequently, the voltage across each capacitor divides in inverse proportion to its capacitance, meaning the smaller capacitor bears the higher voltage.

電磁誘導でんじゆうどう・自己じこインダクタンスと鉄心入てっしんいりコイルの特性とくせい

Electromagnetic Induction, Self-Inductance and Iron-Core Coil Characteristics

コイルを貫つらぬく磁束じそくΦ（ウェーバ：Wb）が時間じかんとともに変化へんかすると、その変化へんかを妨さまたげる向むき（レンツの法則ほうそく）に誘導起電力ゆうどうきでんりょくe（V）が生しょうじます。これをファラデーの電磁誘導でんじゆうどうの法則ほうそくといい、変圧器へんあつきや発電機はつでんきの原理げんりとなります。

When the magnetic flux φ (weber: Wb) passing through a coil changes over time, an induced electromotive force e (V) is generated in a direction that opposes the change (Lenz's Law). This is Faraday's Law of Electromagnetic Induction, the operating principle of transformers and generators.

自分自身じぶんじしんのコイルに流ながれる電流でんりゅうI（A）が変化へんかしたときに生しょうじる起電力きでんりょくの大おおきさは、自己じこインダクタンスL（ヘンリー：H）を用もちいて「e＝L×（ΔI÷Δt）」と表あらわされます。またコイルが蓄たくわえる電磁でんじエネルギーは「W＝0.5×L×I²（J）」です。

The magnitude of the electromotive force induced when the current I (A) in the coil itself changes is expressed using self-inductance L (henry: H) as "e = L × (ΔI ÷ Δt)". The electromagnetic energy stored in the coil is "W = 0.5 × L × I² (J)".

コイルの自己じこインダクタンスLは、鉄心てっしんの透磁率とうじりつμ（ミュー）と断面積だんめんせきSに比例ひれいし、磁路じろの長ながさlに反比例はんぴれいし、さらにコイルの「巻数まきすうNの2乗じょう（N²）」に比例ひれいします。巻数まきすうを2倍ばいにするとインダクタンスLは4倍ばいになります。

The self-inductance L of a coil is directly proportional to the magnetic permeability μ (mu) and cross-sectional area S of the iron core, inversely proportional to the magnetic path length l, and proportional to the "square of the number of turns N (N²)". Doubling the turns N quadruples the inductance L.

したがって、鉄心入てっしんいりコイルに交流電圧こうりゅうでんあつV（周波数しゅうはすうf）を加くわえたとき、誘導性ゆうどうせいリアクタンス「XL＝2πfL」によって電流でんりゅう「I＝V÷XL」が制限制御せいげんせいぎょされます。運転中うんてんちゅうに鉄心てっしんを引ひき抜ぬくと透磁率とうじりつμが激減げきげんしてLとXLが小ちいさくなり、過大かだいな電流でんりゅうIが流ながれます。

Therefore, when AC voltage V (frequency f) is applied to an iron-core coil, the current "I = V ÷ XL" is limited by the inductive reactance "XL = 2πfL". Pulling out the iron core while energized drastically reduces permeability μ, lowering L and XL and causing an excessive current I to flow.

キルヒホッフの法則ほうそく（2電源回路でんげんかいろ）とホイートストンブリッジ回路かいろ

Kirchhoff's Laws (Two-Source Circuits) and Wheatstone Bridge Circuits

問とい2では直流回路ちょくりゅうかいろの計算けいさんが必かならず1問出題もんしゅつだいされます。第一種だいいっしゅでは単たんなる直並列合成ちょくへいれつごうせいだけでなく、2つの直流電源ちょくりゅうでんげんを持もつ回路かいろや、ブリッジ回路かいろの2点間てんかんの電位差でんいさ（電圧でんあつVab）を求もとめる問題もんだいが頻出ひんしゅつです。

Question 2 always features one DC circuit calculation problem. The First-Class exam frequently tests not only series-parallel combinations, but also DC circuits with two voltage sources and finding the potential difference (voltage Vab) between two nodes of a bridge circuit.

キルヒホッフの第だい1法則ほうそく（電流則でんりゅうそく）は「接続点せつぞくてんに流ながれ込こむ電流でんりゅうの和わと流ながれ出でる電流でんりゅうの和わは等ひとしい」、第だい2法則ほうそく（電圧則でんあつそく）は「任意にんいの閉回路へいかいろ（ループ）において起電力きでんりょくの和わと電圧降下でんあつこうか（I×R）の和わは等ひとしい」という法則ほうそくです。

Kirchhoff's First Law (Current Law) states that "the sum of currents entering a junction equals the sum of currents leaving it," and the Second Law (Voltage Law) states that "around any closed loop, the algebraic sum of electromotive forces equals the sum of voltage drops (I × R)."

また4つの抵抗ていこうR1・R2・R3・R4をひし形がたに組くんだホイートストンブリッジ回路かいろでは、向むかい合あう対辺たいへんの抵抗ていこうの積せきが等ひとしい「R1×R4＝R2×R3」のときに平衡状態へいこうじょうたいとなり、中央ちゅうおうの検流計けんりゅうけい（または電流計でんりゅうけい）に流ながれる電流でんりゅうは0Aになります。

In a Wheatstone bridge circuit with four resistors R1, R2, R3, and R4 arranged in a diamond, when the products of opposite resistor arms are equal ("R1 × R4 = R2 × R3"), the bridge is balanced and the current through the center galvanometer (or ammeter) is 0 A.

平衡へいこうしていないブリッジ回路かいろで中央ちゅうおうの2点てんa−b間かんの電位差でんいさVabを求もとめる問題もんだいでは、基準点きじゅんてん（0V）を決きめて各枝かくえだの分圧比ぶんあつひから点てんaの電位でんいVaと点てんbの電位でんいVbを別々べつべつに計算けいさんし、その差さ「Vab＝｜Va−Vb｜」をとると一瞬いっしゅんで解とけます。

To find the potential difference Vab between two center nodes a–b in an unbalanced bridge circuit, choose a reference node (0 V), calculate the potentials Va and Vb of each branch separately using voltage division, and take their difference "Vab = |Va − Vb|" for an instant solution.

正弦波交流せいげんはこうりゅう（周期しゅうき・周波数しゅうはすう・角周波数かくしゅうはすう）と周波数変化時しゅうはすうへんかじのリアクタンス

Sinusoidal AC (Period, Frequency, Angular Frequency) and Reactance Under Frequency Change

問とい3では単相交流回路たんそうこうりゅうかいろが出題しゅつだいされます。正弦波交流せいげんはこうりゅうが1回かいの波なみを描えがくのにかかる時間じかんを「周期しゅうきT（s：秒びょう）」、1秒間びょうかんに繰くり返かえす波なみの数かずを「周波数しゅうはすうf（Hz：ヘルツ）」といい、「f＝1÷T」の関係かんけいがあります。

Question 3 covers single-phase AC circuits. The time required for a sinusoidal AC wave to complete one full cycle is the "period T (s: seconds)", and the number of cycles repeated per second is the "frequency f (Hz: hertz)", related by "f = 1 ÷ T".

また1秒間びょうかんに進すすむ角度かくど（ラジアン）を「角周波数かくしゅうはすうω（オメガ：rad/s）」といい、「ω＝2πf＝2π÷T（π≈3.14）」で求もとめます。周波数しゅうはすうf＝50Hz（周期しゅうきT＝20ms＝0.02s）のとき、角周波数かくしゅうはすうは「ω＝2×3.14×50＝314rad/s」となります。

The angle in radians advanced per second is called the "angular frequency ω (omega: rad/s)", calculated as "ω = 2πf = 2π ÷ T (π ≈ 3.14)". At frequency f = 50Hz (period T = 20ms = 0.02s), the angular frequency is "ω = 2 × 3.14 × 50 = 314 rad/s".

正弦波交流せいげんはこうりゅうの最大値さいだいちVmは実効値じっこうちVの√2倍ばい（Vm＝√2×V≈1.41×V）、平均値へいきんちVavは最大値さいだいちの2÷π倍ばいです。日常にちじょうの100Vや200Vという表示ひょうじはすべて「実効値じっこうち」を表あらわしています。

The peak value Vm of a sine wave is √2 times the RMS value V (Vm = √2 × V ≈ 1.41 × V), and the average value Vav is 2 ÷ π times the peak value. Standard ratings such as 100V or 200V always represent the "RMS (effective) value".

コイルの誘導性ゆうどうせいリアクタンス「XL＝ωL＝2πfL（Ω）」は周波数しゅうはすうfに比例ひれいし、コンデンサの容量性ようりょうせいリアクタンス「XC＝1÷（ωC）＝1÷（2πfC）（Ω）」は周波数しゅうはすうfに反比例はんぴれいします。電源周波数でんげんしゅうはすうが50Hzから60Hz（1.2倍ばい）に変かわると、XLは1.2倍ばいに増ふえ、XCは1÷1.2倍ばいに減へります。

Inductive reactance of a coil "XL = ωL = 2πfL (Ω)" is proportional to frequency f, while capacitive reactance of a capacitor "XC = 1 ÷ (ωC) = 1 ÷ (2πfC) (Ω)" is inversely proportional to frequency f. When power frequency changes from 50Hz to 60Hz (1.2 times), XL increases by 1.2 times and XC decreases to 1 ÷ 1.2 times.

単相交流たんそうこうりゅうR-L-C直並列回路ちょくへいれつかいろ・共振きょうしんと半波整流回路はんぱせいりゅうかいろ

Single-Phase R-L-C Series/Parallel Circuits, Resonance and Half-Wave Rectifier Circuits

抵抗ていこうRとリアクタンスXL・XCが直列ちょくれつにつながった回路かいろの合成ごうせいインピーダンスZ（Ω）は「Z＝√（R²＋（XL−XC）²）」で求もとめ、力率りきりつcosθは「cosθ＝R÷Z」となります。XL＝XCのときは直列共振ちょくれつきょうしんとなり、リアクタンスが打うち消けし合あって「Z＝R、力率りきりつcosθ＝1（100%）」になります。

In a circuit with resistance R and reactances XL, XC in series, total impedance Z (Ω) is "Z = √(R² + (XL − XC)²)" and power factor cosθ is "cosθ = R ÷ Z". When XL = XC, series resonance occurs: the reactances cancel out, yielding "Z = R and power factor cosθ = 1 (100%)".

一方いっぽう、抵抗ていこうRの枝えだとリアクタンスXの枝えだが並列へいれつにつながった回路かいろでは、各枝かくえだに同おなじ電源電圧でんげんでんあつVがかかります。抵抗ていこうの電流でんりゅう「IR＝V÷R」とリアクタンスの電流でんりゅう「IX＝V÷X」は位相いそうが90度どずれるため、全電流ぜんでんりゅうは「I＝√（IR²＋IX²）」、力率りきりつは「cosθ＝IR÷I」で求もとめます。

Conversely, in a parallel circuit with a resistance branch R and a reactance branch X, the same source voltage V is applied to each branch. Because resistor current "IR = V ÷ R" and reactance current "IX = V ÷ X" are 90 degrees out of phase, total current is "I = √(IR² + IX²)" and power factor is "cosθ = IR ÷ I".

また問とい4で頻出ひんしゅつなのが、交流電源こうりゅうでんげん（実効値じっこうちV）に理想的りそうてきな「半導体はんどうたいダイオード」1個こと抵抗ていこうRを直列ちょくれつにつないだ「半波整流回路はんぱせいりゅうかいろ」の消費電力しょうひでんりょくPを求もとめる問題もんだいです。

A frequent Question 4 topic is finding the power consumption P of a "half-wave rectifier circuit" consisting of an AC source (RMS voltage V), a single ideal "semiconductor diode", and a resistor R connected in series.

ダイオードは一方向いちほうこう（順方向じゅんほうこう）にしか電流でんりゅうを通とおさないため、交流こうりゅうの1周期しゅうきのうち正せいの半周期はんしゅうきだけ電流でんりゅうが流ながれ、負ふの半周期はんしゅうきは電流でんりゅうが0Aになります。したがって、抵抗ていこうRで消費しょうひされる平均電力へいきんでんりょくPはダイオードがないときの「半分はんぶん（1/2）」、すなわち「P＝V²÷（2×R）（W）」になります。

Because a diode conducts current in only one direction (forward bias), current flows only during the positive half-cycle of each AC period and is 0 A during the negative half-cycle. Consequently, the average power P consumed by resistor R is "exactly half (1/2)" that without a diode: "P = V² ÷ (2 × R) (W)".

対称三相たいしょうさんそう3線式交流回路せんしきこうりゅうかいろ（Y結線けっせん・Δ結線けっせん・Δ-Y変換へんかん）

Balanced Three-Phase 3-Wire AC Circuits (Y Connection, Δ Connection, Δ-Y Conversion)

問とい5は必かならず三相交流回路さんそうこうりゅうかいろの計算問題けいさんもんだいです。Y結線けっせん（星形ほしがた）では線電流せんでんりゅうIlと相電流そうでんりゅうIpが等ひとしく（Il＝Ip）、線間電圧せんかんでんあつVlは相電圧そうでんあつVpの√3倍ばい（Vl＝√3×Vp、よってVp＝Vl÷√3）になります。

Question 5 is always a three-phase AC calculation problem. In a star (Y) connection, line current Il equals phase current Ip (Il = Ip), and line-to-line voltage Vl is √3 times phase voltage Vp (Vl = √3 × Vp, so Vp = Vl ÷ √3).

一方いっぽう、Δ結線けっせん（環状かんじょう・デルタ）では線間電圧せんかんでんあつVlと相電圧そうでんあつVpが等ひとしく（Vl＝Vp）、線電流せんでんりゅうIlは相電流そうでんりゅうIpの√3倍ばい（Il＝√3×Ip）になります。三相電力さんそうでんりょくPはどちらの結線けっせんでも「P＝√3×Vl×Il×cosθ＝3×Ip²×R（W）」です。

In a delta (Δ) connection, line-to-line voltage Vl equals phase voltage Vp (Vl = Vp), and line current Il is √3 times phase current Ip (Il = √3 × Ip). In either connection, three-phase active power P is "P = √3 × Vl × Il × cosθ = 3 × Ip² × R (W)".

第一種だいいっしゅで特とくに重要じゅうようなテクニックが「Δ-Y等価変換とうかへんかん」です。1相そうあたりRΔ（Ω）の抵抗ていこう3個こをΔ結線けっせんした負荷ふかは、抵抗値ていこうちを「3分ぶんの1（RY＝RΔ÷3）」にしたY結線負荷けっせんふかと完全かんぜんに等価とうかになります（逆ぎゃくにY結線けっせんからΔ結線けっせんに変かえると電流でんりゅうと電力でんりょくは3倍ばいになります）。

An essential First-Class shortcut is "Δ-Y equivalent conversion." Three resistors of RΔ (Ω) per phase connected in Δ are completely equivalent to a Y-connected load whose resistance per phase is "one-third (RY = RΔ ÷ 3)" (conversely, switching a load from Y to Δ triples both line current and power).

この変換へんかんを使つかえば、電線路でんせんろに抵抗ていこうrがある回路かいろや、Y結線負荷けっせんふかとΔ結線負荷けっせんふかが並列へいれつにつながった複合回路ふくごうかいろでも、Δ結線けっせんを「RY＝RΔ÷3」のY結線けっせんに置おき換かえて1相分そうぶんの等価回路とうかかいろで簡単かんたんに線電流せんでんりゅうIlを計算けいさんできます。

Using this conversion, even when a circuit includes line resistance r or combines a Y load and a Δ load in parallel, you can replace the Δ load with an equivalent Y load of "RY = RΔ ÷ 3" and easily compute the line current Il using a single-phase equivalent circuit.

試験しけんによく出でるポイントと覚おぼえ方かた

Key Exam Points & How to Remember

問とい1のコンデンサ計算けいさんでは、「1μF＝10⁻⁶F」と「1mm＝10⁻³m」の単位換算たんいかんさんが勝負しょうぶの分わかれ目めです。静電せいでんエネルギー「W＝0.5×C×V²」では0.5を掛かけ忘わすれた2倍ばいの数値すうちが必かならず選択肢せんたくしにあるため注意ちゅういしましょう。

In Question 1 capacitor calculations, unit conversion of "1μF = 10⁻⁶F" and "1mm = 10⁻³m" is the deciding factor. For electrostatic energy "W = 0.5 × C × V²", the choices always include a distractor that forgets the 0.5 factor (twice the true value), so stay alert.

問とい4の「ダイオード1個こを使つかった半波整流回路はんぱせいりゅうかいろ」は超頻出ちょうひんしゅつのサービス問題もんだいです。波形はけいの上半分うえはんぶんしか通とおらないため、消費電力しょうひでんりょくPは通常つうじょうの交流回路こうりゅうかいろ（V²÷R）のちょうど半分はんぶん「P＝V²÷（2R）」になると即答そくとうしてください。

The "half-wave rectifier circuit with one diode" in Question 4 is a frequent bonus question. Because only the top half of the waveform passes through, immediately answer that power consumption P is half that of a normal AC circuit: "P = V² ÷ (2R)".

問とい5の三相交流さんそうこうりゅうでは、文字式もじしきで電力でんりょくPや電流でんりゅうIを問とう問題もんだいもよく出でます。Δ結線けっせんの1相そうインピーダンスが「Z＝√（R²＋X²）」のとき、相電流そうでんりゅうは「Ip＝V÷Z」、全消費電力ぜんしょうひでんりょくは「P＝3×Ip²×R＝3V²R÷（R²＋X²）」となります。

In Question 5 on three-phase AC, symbolic formula questions for power P or current I are also common. When one phase of a Δ load has impedance "Z = √(R² + X²)", phase current is "Ip = V ÷ Z" and total 3-phase power is "P = 3 × Ip² × R = 3V²R ÷ (R² + X²)".